giovedì 21 settembre 2017

Trasformata di Fourier e Musica

Ciao a tutti!

Eccoci con un altro nuovissimo post sulla matematica! Il titolo dice già tutto... ma se non sapete di cosa stiamo parlando non preccoupatevi! Continuate a leggerci e lo scoprirete molto presto!



La Trasformata di Fourier è un particolare procedimento ( in matematica viene chiamata "operatore" ) attraverso cui è possibile trasformare (per l'appunto!) un insieme di dati in un altro di diverso aspetto.

Non vi è chiaro vero? Non vi preoccupate! L'argomento è molto vasto e complicato, qui cercheremo di rendervelo "semplice" ( ahah... si intende nei limiti possibili!!), quindi eccovi esattamente che cosa fa la trasformata di Fourier: trasforma una funzione (leggi "insieme di dati") dal dominio del tempo al dominio della frequenza.

Ve lo dicevo che non è affatto semplice rendere "semplice" spiegare la Trasformata... Ma è così, cioè attraverso l'operatore di Fourier è possibile cambiare "dominio"... è come se ci mettessimo gli occhiali a infrarossi per vedere al buio, così noi usiamo la Trasformata per vedere le frequenze di una certa funzione, o insieme di dati. Per esempio, proviamo con i suoni che magari l'argomento è più semplice: immaginate di sentire una melodia al violino, il vostro orecchio percepisce il "suono" ( che non è altro che una vibrazione di una corda, una "oscillazione" che la corda produce vibrando strofinata dall'archetto) , il suono ha poi delle caratteristiche che lo contraddistingue che l'orecchio umano è abituato ad analizzare e a trasformare in informazioni per il nostro cervello sotto forma di:
  1. Timbro, che strumento sta suonando
  2. Altezza, che nota sta suonando
  3. Intensità, quanto forte sta suonando.
Tutte queste informazioni sono codificate in questa "oscillazione rumorosa" e ci sono delle funzioni matematiche che definisco perfettamente tale moto, ossia le funzioni periodiche $seno$ e $coseno$.

Ad esempio, la nota del La centrale, quello a cui tutta l'orchestra si accorda oggi giorno, ha la frequenza di 440Hz; tale oscillazione è descritta dalla funzione matematica $$f(t)=sen(2\pi440*t)$$ dove $t$ è il tempo trascorso. La nostra $f(t)$ quindi descrive il moto oscillatorio della corda del La centrale quando essa viene messa in vibrazione in riferimento al tempo $t$ trascorso (che sia un archetto a strofinare la corda, che sia il soffio di un flautista, oboista, fagottista... il La centrale vibra a quella frequenza esatta, ovviamente se ben accordato!), quindi al passare del tempo abbiamo una perfetta descrizione di cosa avviene sulla corda, descrizione fornitaci dalla funzione $sen$.

Ma quindi, se il La centrale vibra a 440Hz, ed è descritto dalla funzione che abbiamo chiamato $f(t)$, cosa contraddistingue uno strumento dall'altro? Dove sta il pezzettino di informazione dentro al suono che, una volta elaborato dal nostro orecchio e successivamente dal nostro cervello, ci fa riconoscere quale strumento sta suonando? Quando sentiamo un'orchestra intera esibirsi in un teatro, istintivamente sentiamo tantissimi "timbri" diversi (cioè "voci" che contraddistinguono ciascun strumento), e anche se non sappiamo identificare questi timbri con i relativi strumenti di appartenenza, sappiamo però distinguere un flauto da un violoncello senza grossi problemi, o un violoncello da un violino, o un violino da una viola anche se in quest'ultimo caso la distinzione può essere un pochino più sottile ... Cosa ci viene in aiuto nel riconoscimento di uno strumento musicale, e quindi nel suo timbro? Lo stesso problema lo si può affrontare ponendoci un problema analogo: come riconosciamo la voce dei nostri amici al telefono? Voi direte, beh se è una donna la voce sarà più acuta di quella di un uomo, ma se entrambi cantassero la stessa nota del La centrale, quella descritta dalla $f(t)$ di cui sopra, come riusciamo a distinguerli? Qui entrano in campo gli "armonici".

Questi armonici non sono altro che suoni diversi dal suono "fondamentale" che sono presenti in tutti i suoni naturali, eccetto quelli chiamati "suoni puri" che sono ottenuti soltanto digitalmente, e sono quasi del tutto assenti in natura, anche se ci sono degli strumenti "naturali" atti ad approssimare un suono puro (ad esempio avete mai visto e/o sentito un diapason? Esso riproduce fedelmente il suono del La centrale a 440 Hz in maniera quasi pura, anche se qualche armonico è sempre presente in quasi tutti i suoni). Ebbene, una volta scoperta la presenza degli armonici nei suoni, come ci trasmettono l'informazione "è un flauto a suonare" piuttosto che un corno? Basta contare la presenza degli armonici nella nota "base", a volte chiamato anche suono generatore, e analizzare la loro intensità. Per esempio, le intensità degli armonici del flauto sono nettamente diverse da quelle degli armonici del corno, per cui gli strumenti si distinguono molto bene in ambito orchestrale. Ma se parlassimo di violino e viola? Spesso si confondono per timbro, anche se la viola è leggermente "più scura" del violino avendo anche un registro più grave; questa informazione ci dice che violino e viola hanno molti armonici in comune, ma le loro intensità sono leggermente diverse, non di molto, ma di quel tanto da far apparire quasi per magia due suoni scindibili e catalogabili dal nostro orecchio.
Lo stesso dicasi per le voci umane, anche quando intonano la stessa nota alla stessa altezza: si riconoscono sempre per la diversa intensità che gli armonici assumono nell'una e nell'altra voce. Non per intensità di suono quindi, non per altezza (abbiamo supposto che cantino la stessa nota), ma solo ed esclusivamente per il timbro, ossia per la "quantità" generale di armonici che hanno di differenza; come per esempio il clarinetto ha le intensità degli armonici dispari (cioè armonico numero 3, numero 5, numero 7...) molto più intense di quelle pari, al contrario di un violino.

Tornando alla nostra amata Trasformata di Fourier (che da ora in poi chiameremo semplicemente FT, "Fourier Transform"), essa ci permette come detto prima di cambiare il dominio del tempo in quello delle frequenze. Cosa vuol dire: se noi applicassimo la FT alla funzione che regolava le oscillazioni TEMPORALI della corda del La centrale, la avevamo chiamata $f(t)$, con la lettera $t$ a ricordarci che siamo nel dominio del tempo, allora trasformeremmo la nostra funzione in una equivalente chiamata $\hat f(x)$, dove però al posto della $t$ siamo obbligati a metterci una $x$ perché non siamo più nel dominio del tempo, ma ci troviamo nel dominio delle frequenze! Forte no? :)

Se per esempio noi trasformassimo la funzione $f(t)=sen(2\pi440*t)$ tramite la FT, otterremmo una funzione $\hat f(x)$ dove, se calcoliamo la funzione nel punto $x=440$ ci darà l'intensità della frequenza 440Hz presente nel suono che abbiamo trasformato, e diverrebbe un bel valore dato che il suono che trasformiamo ha solo la frequenza di 440Hz! Tutto il resto sarebbe infatti uguale a 0.

Se siete proprio tanto curiosi, il procedimento per trasformare una funzione tramite la FT è il seguente:
$$\hat f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{2\pi}f(t)*e^{-ixt}dt$$

E se siete proprio tanto, ma TANTO curiosi, se volete potremo in futuro fare un altro post ad hoc più in dettaglio ... Alla prossima!!

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