Calcolare funzioni con Serie Numeriche!

Ciao ragazzi! Vi sono mancate le serie numeriche vero? Ecco perché scriviamo ancora un articolo su questo meraviglioso strumento della matematica! ... come non "meraviglioso"? Fra poco ve ne renderete conto voi stessi!

Immaginate un po', se il/la vostro/vostra prof di matematica un giorno vi desse questa "roba" da calcolare: $$\int_{0}^{\frac{1}{4}}\dfrac{e^{2x}+log(1-2x)-1}{x}dx$$ voi che gli/le direste?

... Vi abbiamo sentito! Non prendetela male, in realtà con lo strumento delle serie infinite questo argomento vi risulterà molto più facile a "farsi" che a "dirsi", serve solo ... rimboccarsi per bene le maniche! Iniziamo!

Come abbiamo appena accennato, ci servono le serie...e facciamole comparire!

Vi ricordate dello sviluppo in serie di Taylor? Non vi sembra un buon punto di partenza? ;)

Vi riporto alla memoria gli sviluppi notevoli di $e^x$ e $log(1-x)$: avevamo infatti che

• $e^x= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$
• $log(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$

Non ci resta quindi che accomodarceli per le nostre funzioni che abbiamo al numeratore del nostro integrale!

• $\frac{e^{2x}-1}{x}=\dfrac{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2x)^n}{n!}}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^nx^{n-1}}{n!}$
• $\frac{log(1-2x)}{x}= -\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2x)^n}{n}}{x}=-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^nx^{n-1}}{n}$

Ora che abbiamo la forma "in serie", dobbiamo controllare che, per ciascuna delle due espansioni di Taylor, ci sia la convergenza uniforme nell'intervallo $(0,\dfrac{1}{4})$, cioè dentro al dominio di integrazione. 

Per farlo ci occorre sapere se $$\lim_{n\rightarrow \infty}sup_{x\in (0,\frac{1}{4})}|\dfrac{2^nx^{n-1}}{n!}| \longrightarrow 0$$ ma questo sappiamo che è vero perché al denominatore abbiamo un fattoriale che "vince" (in termini di ordine) a infinito sul numeratore, che tende ad infinito solamente "esponenzialmente"! Quindi possiamo concludere che $\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ converge uniformemente in $(0,\frac{1}{4})$ (in realtà si può dimostrare che converge in tutto $\mathbb{R}$). Occupiamoci della seconda serie: dobbiamo anche per questa controllare che:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}sup_{x\in(0,\frac{1}{4})}|\dfrac{2^nx^{n-1}}{n}| \longrightarrow 0$$

Osserviamo che il numeratore può essere minorato da $2^n\dfrac{1}{4^{n-1}}=\dfrac{2^n}{2^{2n-2}}=2^{n-2n+2}=2^{2-n}$ e quindi la nostra ricerca del limite diventa:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{2^{2-n}}{n}\longrightarrow 0$$ questo è vero dato che sia numeratore sia denominatore fanno tendere l'espressione a 0!

Riassumendo, abbiamo trovato che entrambe le serie convergono uniformemente in questo intervallo!

Ora possiamo riscrivere l'integrale di partenza come:

$$\int_{0}^{\frac{1}{4}}\dfrac{e^{2x}-1+log(1-2x)}{x}dx=\int_{0}^{\frac{1}{4}}\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}x^{n-1}\cdot({\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{n}})dx$$ e da qui possiamo scambiare il segno di integrale con il segno di sommatoria per via del teorema sulla convergenza integrale, ottenendo:

$$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\cdot(\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{n})\int_{0}^{\frac{1}{4}}x^{n-1}dx$$

$$=\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\cdot(\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{n})[\dfrac{x^n}{n}]_{0}^{\frac{1}{4}}=\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\cdot(\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{n})\cdot \dfrac{1}{4^nn}$$

Scritto in forma migliore abbiamo ottenuto la seguente uguaglianza:

$$\int_{0}^{\frac{1}{4}}\dfrac{e^{2x}+log(1-2x)-1}{x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}(\dfrac{1-(n-1)!}{n!})\cdot \dfrac{1}{2^nn}$$

ed è un notevolissimo risultato! Prima con strumenti quali integrazione indefinita o impropria non potevamo conoscere il risultato dell'integrale proposto, ora invece riusciamo a trattare il problema integrale come un problema di serie numeriche infinite, e se riusciamo a "concludere" la somma infinita allora siamo proprio fortunati, nel caso in cui non ci riuscissimo possiamo accontentarci quanto meno di una approssimazione. Proviamo quindi ad approssimare l'integrale proposto a meno di $10^{-5}$.

La serie è tutta a termini negativi sempre crescenti, quindi basterà che $|a_{n}|< 10^{-5}$, essendo $a_{n}$ il termine ennesimo della successione. Quindi facciamo:

$$|\dfrac{1-(n-1)!}{n!}\cdot\dfrac{1}{2^nn}|<\dfrac{1}{100000}$$

Se non ho sbagliato a fare i calcoli, viene che per $n=10$ abbiamo ottenuto la nostra approssimazione a meno di $10^{-5}$, e per calcolare il nostro integrale basterà fare semplicemente:

$$\int_{0}^{\frac{1}{4}}\dfrac{e^{2x}+log(1-2x)-1}{x}dx\approx \sum_{n=1}^{10}\dfrac{1-(n-1)!}{n!}\cdot\dfrac{1}{2^nn}$$

$$=$$

$$-0.012089\dots \approx -0.012082\dots$$

Pensare che potremmo essere precisi a piacere!

Vi è piaciuto questo articolo? Commentate qui sotto per farci sapere la vostra opinione!

A presto!!