Siamo qui a scrivere dopo tanto tempo perché abbiamo trovato un nuovo argomento interessante di cui parlare. Avete mai giocato a scacchi? (Nemmeno dopo aver visto la serie "La regina degli scacchi"?)
Anche se la risposta è negativa, non preoccupatevi, non giocheremo a scacchi e non vi servirà conoscere come si muovono le pedine, vi guideremo noi passo passo alla scoperta di strane geometrie.
Come sapete la matematica è sempre presente su questo blog ed è proprio il collegamento tra matematica e scacchi ad averci incuriosito.
Si parla spesso di come gli scacchi aiutino nella capacità di astrazione e ragionamento e, di conseguenza, nella risoluzione dei problemi matematici, ma noi andremo più nello specifico!
Questo è solo il primo di una serie di post che andremo a pubblicare prossimamente.
Per farvi capire di cosa stiamo parlando, prendiamo una delle pedine più semplici: la Torre. Come vedete dalla figura qui sotto, la torre può muoversi orizzontalmente o verticalmente sulla scacchiera e così ci siamo chiesti: in quale modo possiamo misurare la distanza tra due punti?
Per rispondere a questa domanda abbiamo bisogno di porcene un'altra: come misuriamo la distanza tra due punti nella vita quotidiana? Immaginate di essere su un pavimento a scacchiera e di dover andare da un punto a un altro della stanza, supponendo sia completamente vuota. Solitamente, a meno che non stiate facendo qualche gioco, nessuno ci vieta di passare sopra le piastrelle come se non le vedessimo, in modo da percorrere il percorso più breve e sprecare meno energie. E' proprio così che definiamo la distanza nel mondo reale: il percorso più breve tra due punti, possibilmente in metri o nei suoi multipli/sottomultipli. La distanza misurata in questo modo definisce una metrica, ovvero un modo di misurare, euclidea.
Ma torniamo alla torre. La nostra pedina non è in grado di muoversi dove le pare, non può fermarsi sul bordo di una casella e la distanza da percorrere è indipendente dalla grandezza delle caselle: se le caselle fossero 5x5 chilometri o 5x5 centimetri, la torre continuerebbe a muoversi nello stesso modo e a sprecare le stesse energie. La distanza tra due punti (o meglio, due caselle) non è quindi di tipo euclideo, ma può essere misurata tramite il numero minimo di caselle da percorrere.
Proviamo con un esempio: la torre in figura (qui sopra) è in posizione G4, qual è la distanza dalla casella G3? Ovviamente 1! Le basta percorrere una casella per arrivarci.
E la sua distanza da G2? Le caselle che la separano da G2 sono 2, e questa è la distanza.
Vediamo qual è la sua distanza da F3: nonostante le due caselle siano vicine, non può arrivarci percorrendo una sola casella, ma dovrà prima muoversi in G3 (o F4) e poi in F3, quindi dista 2 da tutte le caselle che hanno in comune un vertice.
Ora che abbiamo definito la distanza per la torre, possiamo recuperare dalla nostra mente la definizione di circonferenza e cercare di capire come si applica a questa nuova geometria.
Siamo sicuri che ve la ricordiate benissimo, ma in caso la riscriviamo qui sotto:
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro.
Nel nostro mondo euclideo, per disegnare una circonferenza sul pavimento ci basta inchiodare uno spago di lunghezza fissata in un punto e, con il filo ben teso, girare intorno al punto. Il raggio è proprio la lunghezza del filo.
Cosa succederebbe se la torre dovesse percorrere una circonferenza di raggio 1 sulla scacchiera?
Dovremmo considerare tutti i punti a distanza 1 da un punto fissato, ovvero tutti i punti che possono essere raggiunti dalla nostra torre in G4 percorrendo una sola casella. Li abbiamo segnati nella figura sottostante, siete d'accordo che siano tutte le caselle a distanza 1 dalla torre? Convincetevene e poi continuate a leggere!
Non ce ne sono altri perché le caselle bianche sono a distanza 2 dalla torre, come abbiamo visto poco fa, quindi non appartengono alla circonferenza. Ma, ehi, questa più che una circonferenza ci sembra un quadrato un po' storto! Il fatto è che applicando la definizione di circonferenza in una geometria diversa da quella euclidea, otteniamo figure che sono circonferenze per quella geometria e non per la nostra, in cui siamo abituati. Notiamo anche che la circonferenza della geometria della torre è composta esattamente da 4 punti, mentre nella nostra geometria ci insegnano che la circonferenza ne ha infiniti!
Curioso, vero?
Proviamone un'altra: pensate a come potrà essere la circonferenza di raggio 2 per la torre, poi guardate la figura qui sotto e scoprite se avete trovato tutti i punti!
E' di nuovo quello che a noi sembra un quadrato, ma più in grande e sulle caselle bianche.
La morale è che noi siamo abituati a vedere e spiegare il mondo dalla nostra prospettiva, ma ce ne sono moltissime altre che non prendiamo in considerazione e che possono essere altrettanto interessanti da studiare! Queste geometrie sono dette, con molta fantasia, non euclidee, proprio perché si definiscono su un concetto di distanza (o di metrica) che non è quello di Euclide a cui siamo abituati. Le figure cambiano, i percorsi cambiano e si ha una visione di un mondo completamente diverso! In particolare, la geometria della torre è detta anche geometria del Taxi, o di Manhattan, perché è il modo in cui i taxi possono muoversi in una città in cui le strade sono a perpendicolari tra loro, con i palazzi nel mezzo.
Nei prossimi post parleremo di come si muovono le altre pedine e quali geometrie esse producono. Nell'attesa vi lasciamo con un quesito: cosa saranno due rette parallele nella geometria della torre? Prendete la definizione e sbizzarritevi sulla scacchiera!
Alla prossima!
Immagini create tramite lichess.org
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