Serie numeriche: convergenza e divergenza

Continuiamo l'argomento trattato nella dimostrazione del Problema di Basilea parlando più approfonditamente di serie numeriche e .. serie di funzioni!

Cosa sono? Di che stiamo parlando? Continuate a leggerci e lo scoprirete molto presto!

Nello scorso articolo abbiamo approfondito la serie delle somme degli inversi dei numeri naturali, in poche parole e in poco più di "matematica" abbiamo scoperto che $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$$ e che $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}.$$

Entrambe le precedenti serie sono chiamate "serie numeriche" poichè trattano di una somma infinita di numeri, partendo da un certo n in avanti. Diventa molto interessante capire quando una serie converge o diverge, cioè se una somma infinita di numeri è uguale ad un altro numero (e cioè converge a quel numero) oppure diventa troppo grossa e quindi è uguale a $\pm \infty$ (cioè diverge).
Ad esempio, le nostre due serie di prima trattate per il Problema di Basilea erano due serie convergenti, infatti la loro Somma era definita rispetto una frazione di $\pi^2$: questo significa che se noi prendessimo ad uno ad uno i vari termini della prima serie ($\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{9},\dfrac{1}{16}, ...$) e li andassimo a sommare, troveremmo dei valori sempre più vicini a $\dfrac{\pi^2}{8}$. Se li sommassimo tutti quanti, dall'uno fino all'infinito, otterremmo proprio il valore di $\dfrac{\pi^2}{8}$! Fantastico no? Lo stesso per un'altra qualsiasi serie numeria convergente! Questo per il semplice motivo che i valori progressivi della serie sono sempre più piccoli, in linguaggio matematico "tendono a 0" man mano che si va avanti a calcolari .. proiettando questa situazione all'infinito, si otterrebbero dei valori talmente piccoli che il risultato ottenuto dopo tutta la strada per arrivare a infinito non cambierebbe più in maniera significativa poiché i valori della serie sono prossimissimi a zero, quindi in quel caso possiamo dire di aver raggiunto il limite della serie.
Un esempio di serie divergente potrebbe essere dato da $$\sum_{n=1}^{\infty}1$$ . Ormai lo avrete capito, questa serie è palesemente divergente, poichè ci dice di sommare una unità per infinite volte, senza che però essa diminuisca di quantità! Ovviamente, se continuate a sommare sempre 1 infinite volte, non potrete che ottenere infinito, e quindi concludere che la serie è divergente.

Ma come rendersi conto se una serie converge o diverge? Oggi vi illustreremo qualche tecnica di riconoscimento per serie convergenti e non, e qualche bel modo per calcolare la loro Somma (perché sempre di somme noi pariamo!).

Iniziamo subito da una bella serie, per esempio questa: $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$$ detta anche serie armonica.
Che ne dite? Si accettano scommesse! Convergerà o no? ... Scopriamolo insieme!

Prima, una piccola premessa con alcuni criteri che potrebbero esserci di grande aiuto:

Criterio del Confronto tra serie numeriche:
Se due serie a termini positivi sono tali che $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}<\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$, allora a priori possiamo dire due cose:

• Se $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverge, allora anche $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ diverge;
• Se $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge, allora anche $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge.

Può sembrare un risultato banale, semplicemente analitico, ma cretedeci che ci sarà di grandissimo aiuto nel seguito!

Continuiamo la nostra scoperta con la serie $\sum_{n=1}^{\infty} {1}{n}$, tutti i suoi addendi sono $1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5}$, ... e a seguire. Quindi diventano sempre più piccoli man mano che si va avanti a sommarli, ipoteticamente proiettando questa situazione all'infinito si otterrebbero valori talmente piccoli che non ci sarebbe motivo di dubitare che tale serie converge! MA ... c'è un ma... è anche importante sapere "quanto" vanno veloci verso lo zero i vari addendi, in linguaggio matematico occorre conoscere quale è l'ordine di infinitesimo dell'argomento della serie, e cioè di $\dfrac{1}{n}$, indispensabile per riconoscere una serie convergente o divergente.

Esistono diverse dimostrazioni della convergenza/divergenza (ancora non ve lo diciamo!) della serie $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$, eccovene una che utilizza il criterio del confronto tra due serie esposto qualche riga più su:

Vediamo innanzitutto che $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n}$$ Ora noi vogliamo costruire un'altra serie, partendo da questa, in maniera che sia più piccola dell'originale: per farlo, procediamo a scalini di potenze di due! Chiariamo meglio, ogni addendo viene sostituito con la potenza di due appena superiore: per esempio, $\dfrac{1}{3}$ verrà sostituito con $\dfrac{1}{4}$, così come $\dfrac{1}{33},\dfrac{1}{34},\dfrac{1}{35},...\dfrac{1}{63}$ verranno tutti sostituiti con $\dfrac{1}{64}$, in questa maniera otteniamo una nuova serie fatta in questa maniera: $$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+...$$ che risulterà più piccola della serie originale.

Ora osserviamo che è riscrivibile anche in questo modo: $$1+\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{4}+4\cdot\dfrac{1}{8}+8\cdot\dfrac{1}{16} ... = 1 +\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+....$$

Per lo stesso motivo per cui $\sum_{n=1}^{\infty}1$ diverge, anche la nuova serie che abbiamo ottenuto diverge (infatti andremmo a sommare infinite volte la quantità $\dfrac{1}{2}$ andando quindi a infinito).

Come concludiamo che $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$ converge o diverge? Usando il criterio del confronto per serie! Sappiamo che se una serie a termini positivi è divergente, anche un'altra serie maggiore della prima sarà per forza divergente, e questo ben si applica al nostro caso! Infatti: $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}>1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+...=1+\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{4}+4\cdot\dfrac{1}{8}$$ $$=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+...=\infty$$ Quindi in particolare abbiamo che: $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}>\infty \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}=\infty$$

Così si conclude il nostro studio sulla convergenza o divergenza della nostra serie $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$. Il risultato non era ovvio, questo dimostra che non serve soltanto che l'argomento della serie tenda a zero per verificare la convergenza della serie. Dubbi? Domande? Lasciate commenti!

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