giovedì 10 luglio 2014

Gli insiemi numerici

Nell'articolo precedente, avevamo parlato di come il sistema di numerazione matematico si fosse evoluto dalle origini fino ai giorni nostri, ma non abbiamo ancora finito di parlarne! E forse mai si finirà, dato che è un argomento molto difficile da affrontare...

Ma vi possiamo dire questo: i numeri hanno diverse tipologie!



Per esempio, se un uomo doveva contare quante galline possedeva (anche noi oggi possiamo farlo con "quanti smartphone abbiamo?"), egli avrebbe usato un diverso tipo di numeri rispetto a un uomo che era intento a contare il reddito del suo bilancio; ancora diversi sarebbero stati i numeri usati da un pasticciere, intento a preparare una torta, e un architetto nel costruire un ponte ne avrebbe usato altri ancora...

Cosa sto dicendo? Vediamo in dettaglio gli esempi di prima!

Per contare le galline, uno incomincia con "1,2,3..." fino a che non finiscono le galline, bene! Questi si chiamano "Numeri Naturali", ossia quelli che sono stati "inventati" (o "scoperti" che dir si voglia) dall'uomo fin dalla prima relazione con la matematica, infatti il termine Naturale connota questi numeri. Essi sono infiniti, come tutti i numeri, si parte da 1 e via a contare fino a $\infty$(infinito)!
Questi numeri in matematica vengono raggruppati in un'unica grande categoria, chiamata "Numeri Naturali" che si contraddistingue con la lettera maiuscola $\mathbb{N}$.

Per controllare il bilancio, occorrono fare delle operazioni con i numeri "il mese X ho guadagnato Y, speso Z, e il profitto è TOT", quindi a un guadagno si sottraggono delle spese per ricavare il profitto del mese; ma cosa succede se il guadagno non è sufficientemente alto per poter fare quelle spese (magari obbligatorie per il pover uomo)? Ecco che intervengono i numeri in questa situazione molto disperata: se si sottrae una spesa molto grande rispetto al totale della liquidità disponibile, si va in "rosso" (parlando in gergo), si va quindi sotto lo 0 (zero), e per indicare quindi una somma "in negativo" si mette il segno - (meno) davanti al numero stesso, così a quantità positive si possono far corrispondere le rispettive quantità negative ponendo un segno - davanti al numero. Ecco quindi qui i "debiti degli Arabi" (cfr: Origine dei Numeri). Come i Numeri Naturali, anche questi numeri sono infiniti (infatti, se basta mettere un segno - davanti ai naturali per ottenerli e se i naturali sono infiniti, perché questi altri numeri non dovrebbero esserlo altrettanto?).
Questi di cui si sta parlando sono i cosiddetti "Numeri Interi", vanno da "$0,1,2...\infty$" e da "0,-1,-2...$-\infty$", da notare che tutti i Numeri Naturali sono inclusi nei Numeri Interi, vengono semplicemente sdoppiati in positivi e negativi, quindi si potrebbe dire che i Numeri Interi vanno a infinito per ben 2 volte!
Il simbolo per i Numeri Interi è la lettera maiuscola $\mathbb{Z}$.

A qualcuno di voi sarà sicuramente capitato di dover preparare qualcosa in cucina, che sia una torta, dei biscotti, le lasagne...(mm, buone!) e quanti di voi avranno sentito dire "una parte di acqua, e tre parti di farina"? o con l'esempio famosissimo della mela "Un quarto di mela, grazie"? In tutti questi casi non si fa altro che usare un altro tipo di numeri, che sono i Numeri Razionali.
I Numeri Razionali servono per indicare una parte "in relazione" ad un'unità, mi spiego: prendendo l'esempio della mela, quanto si chiede "un quarto di mela", si intende "della mela intera, io ne vorrei soltanto un quarto", e cioè: in relazione all'unità mela ( una unità corrisponde a una mela), ne vorremmo soltanto un quarto, e quindi uno spicchio di mela, che insieme ad altri tre spicchi di mela, fanno una mela intera (un quarto + un quarto + un quarto + un quarto = un intero= una unità= una mela). Per far ciò si immagina di dover tagliare la mela in quattro spicchi tutti uguali tra loro, e a noi ce ne verrebbe soltanto uno. Per indicare i Numeri Razionali infatti si usano di solito le frazioni: cioè un numero diviso un altro numero (per es. un quarto si scrive: $\dfrac{1}{4}$), oppure esiste anche la loro rappresentazione decimale, e cioè un numero con la virgola, infatti $\mbox{un quarto}=\dfrac{1}{4}=0,25$ e 0,25 non è altro che il risultato di 1 diviso 4.
I Numeri Razionali hanno la lettera $\mathbb{Q}$,ed è da notare anche qui che i Numeri Razionali contengono a loro volta i Numeri Interi (...e se i Numeri Interi contengono i Numeri Naturali, anche i Numeri Razionali contengono i Numeri Naturali!), infatti, per vederlo, possiamo prendere per esempio il numero 2, esso è un Naturale, e un Intero, ma è anche un Razionale, in quanto si può scrivere come $\dfrac{4}{2}$ (4 diviso 2= 2), o come $\dfrac{6}{3}$ (6 diviso 3 = 2) o come $\dfrac{2}{1}$ (...e via dicendo): esistono infiniti modi per scrivere un Numero Naturale usando dei Numeri Razionali!
Anche $-5$ è un Numero Razionale: è Intero ma non Naturale, e per scriverlo come Razionale basta riscriverlo come il suo corrispettivo numero positivo (Naturale perciò) e trasformarlo in Razionale ponendo davanti alla frazione il segno -, quindi sarà $-5= - \dfrac{5}{1}= -\dfrac{10}{2} = -\dfrac{15}{3}$ e via...

C'è ancora una categoria di cui vi voglio parlare, ed è quella dei Numeri Reali, il loro simbolo è $\mathbb{R}$.
I numeri reali occorrono all'architetto per poter fare delle misure più accurate, infatti per calcolare le diagonali dei quadrati intervengono questi Numeri Reali. Sono numeri che non si riescono ad esprimere per mezzo dei Naturali, Interi o Razionali, e il loro insieme si aggiunge a quello dei Razionali ( quindi i Reali contengono al loro interno: Razionali, Interi e Naturali). Un esempio? per calcolare la diagonale di un quadrato di lato 1 cm occorre usare il famoso Teorema di Pitagora, alla fine dei calcoli si scopre che la diagonale misura $\sqrt{2}$ cm, ( il simbolo $\sqrt{}$ che appare prima del numero 2 è il simbolo di radice: è una operazione matematica che indica il numero che moltiplicato per se stesso dà come risultato il numero "sotto radice", in questo caso bisognerebbe trovare un numero che al quadrato faccia 2, il risultato non è scontato!). Se si prova a calcolare $\sqrt{2}$ in una qualsiasi calcolatrice, si vedrà che essa stamperà a schermo dei numeri con la virgola, e a seconda della precisione dello strumento di calcolo, si noterà che il risultato di questa operazione non termina facilmente: infatti, il numero $\sqrt{2}$ si dice che ha una "espansione decimale infinita", ossia ci sono infinite cifre dopo la virgola, non si raggiungerà mai una fine! Questi numeri non sono rappresentabili con Numeri Razionali, e per ciò si definiscono "Numeri Irrazionali": i Numeri Irrazionali sono contenuti nei Numeri Reali.

Vi invitiamo a scoprire altri Numeri Irrazionali la cui "espansione decimale" sia infinita: $\sqrt{2},\sqrt{3}$ sono alcuni esempi, altri potrebbero essere $\pi$ (il pi greco, qualcuno lo conosce?) ... altri?


In realtà, esiste ancora un'ultima categoria (e forse anche la più interessante) che è quella dei Numeri Complessi, che si indicano con la lettera $\mathbb{C}$.
Cercheremo di spiegare brevemente perché i matematici hanno inventato (con molta fantasia) questa nuova categoria di numeri. Poco fa abbiamo parlato di radici quadrate: bisogna sapere che la radice quadrata di un numero si può ricavare solo se il numero è positivo! Infatti se prendiamo un numero negativo, ad esempio $-4$, non riusciamo a trovare un numero che moltiplicato per se stesso dia come risultato $-4$ (provate a capire perché con l'aiuto di una calcolatrice! Vi ricordiamo che $-2*-2=+4$ ... e $+2*+2=+4$). E se volessimo insistere e provassimo a mettere un numero negativo sotto radice? (...la faccenda si fa "complessa"...)$\sqrt{-4}$, ad esempio, non dà nessun risultato se provate a metterla in una normale calcolatrice (questo perché siamo nel campo dei Numeri Reali, cioè tutti i numeri a noi e alla calcolatrice noti sono solo i Numeri Reali)  ma nessuno ci impedisce di scrivere $\sqrt{-1}$... solo che non esiste! O meglio, non ancora...

Per esempio, prendiamo un numero tipo $\sqrt{4}*\sqrt{-1}$, da cui ricaviamo $2*\sqrt{-1}$. A questo punto i matematici si sono trovati davanti a una quantità che non sapevano come identificare, un numero che non esiste: la radice quadrata di $-1$.
Ma un matematico non perde la speranza neanche davanti ad un numero che non esiste, e risolve il problema dando un nome a questo numero.
Dal 1600 circa, grazie a Tartaglia, Cardano e Bombelli la lettera "i" (che sta per Numero Immaginario, dato che, appunto, nel campo dei Reali non esiste!) ha preso il significato di $\sqrt{-1}$, infatti la i è quel numero ("unità immaginaria" è il suo esatto nome) che moltiplicato per se stesso è uguale a $-1$. Grazie a questa invenzione tutto è stato più facile! Non si è più posto il problema delle radici quadrate di un numero negativo, infatti adesso la nostra $\sqrt{-4}=\sqrt{4}*\sqrt{-1}=2*\sqrt{-1}=2i$.

Il campo dei Numeri Complessi è un bellissimo luogo in cui tutto (o quasi) è lecito, anche le radici di numeri negativi! Questo insieme contiene tutti i Numeri Reali, Razionali, Interi, Naturali e tutti quei Numeri Reali che si possono sommare a dei Numeri Immaginari, e che quindi possiamo scrivere come $a+ib$, dove: a e b sono due Numeri Reali, mentre i è l'unità immaginaria (per un numero complesso si dice che a è la "parte reale", mentre b è la "parte immaginaria").


Alla prossima!!

P.s. Vi lasciamo qui di seguito una piccola calcolatrice, senza troppe pretese di potenza di calcolo!, scritta da noi (Edyproject). Buoni calcoli a tutti!


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